Системы отсчёта в области с гравитацией

Е.К.Грибановский

20 июня 2003 г.

Целью работы является дать классификацию систем отсчёта, возможных в статической центральносимметричной области с гравитацией. Получение основных результатов стало итогом последовательного применения принципа эквивалентности А.Эйнштейна, приводящего к концепции динамичной метрики.

ОТО описывает гравитацию в терминах метрики в точке, поэтому сопоставление результатов, полученных в двух удалённых точках, затруднено, так же как и результаты для одной точки, полученные в разных системах координат. Например, Шмутцер Э. прямо пишет: "Поскольку наше реальное пространство обладает кривизной... и обращаться к координатам Галилея как к решающей инстанции при проверке истинности высказываний относительно длины и времени, вообще говоря, невозможно, сравнение физических результатов, полученных в различных системах координат, оказывается делом чрезвычайно трудным. Нередко доказательство тождественности двух решений поля Эйнштейна, полученных в различных системах координат, само по себе становится темой важного научного исследования". [1-125]. И далее: "...несмотря на то, что точных математических решений более чем достаточно, лишь немногие из них получили убедительное физическое истолкование... Число нетривиальных точных решений, вполне понятных с точки зрения физики, весьма невелико". [1-140]. С ним соглашается Владимиров Ю.: "В настоящее время известно большое число точных решений уравнений Эйнштейна, однако лишь некоторые из них получили ясное физическое истолкование..." [2-113].

В области действия гравитации можно отметить несколько выделенных систем отсчёта.

Первая - мировая система координат. Именно относительно этой системы приводятся результаты вычислений движения планет в солнечной системе или спутников вокруг Земли при рассмотрении земного тяготения. Относительно этой системы даны и результаты в ОТО - например, решение Шварцшильда или Керра. Вслед за Эйнштейном будем называть эту систему галилеевой.

Вторая выделенная система - это обычная традиционная система на поверхности небесных тел, то есть точки в ней неподвижны относительно центра тяготения, например , на Земле - относительно галилеевой системы они также неподвижны. Решением Гравитации для этого случая - центрально-симметричного тяготения - является решение Шварцшильда. Главная его особенность - неизменность расстояния до центра, а проявления гравитации объясняются "искривлением" метрики пространства-времени.

Именно неочевидность физического механизма "искривления" метрики привела к следующей, - третьей - выделенной системе координат, развиваемой автором. Это падающая, или Эйнштейновская, система координат. Первое упоминание о такой возможности имеется у Эйнштейна: "Однако... Леви-Чивитта правильно указал на то, что элементом теории, позволяющим устранять инерциальную систему, является, собственно говоря, поле бесконечно малых смещений..." [3-стр855]. И далее: "Этот недостаток исправляется введением поля бесконечно малых смещений. Оно заменяет инерциальную систему постольку, поскольку позволяет проводить сравнение векторов в бесконечно близких точках". [3-856]. Как оказывается, эти "бесконечно малые смещения" составляют на поверхности Земли величину 11,2 км/с.

К сожалению, понятие "поле смещений" не получило дальнейшего развития.

Всё пространство вокруг источника гравитации можно расслоить на концентрические сферы, которые через время dt сменяют друг друга, устремляясь к центру. Любой физический процесс, происходящий между этими сферами (или на них), будет неотличим от такого же процесса вне действия гравитации, если местная система координат этого физического процесса будет привязана к движению этих падающих концентрических сфер.

Вообще говоря, принципу эквивалентности Эйнштейна будут удовлетворять любые скорости согласованного движения этих концентрических сфер, но лишь один набор скоростей будет удовлетворять граничному условию - равенство нулю на бесконечности, а именно в соответствии с формулой второй космической скорости.

V = \sqrt{\frac{2mk}{r}}  (1)

Рассмотрим связь падающей системы координат с шварцшильдовской.

Приведём формулу решения Шварцшильда в форме [4-(100.14)].

ds^{2} = (1 − \frac{r_{g}}{r})c^{2}dt^{2} − r^{2}(sin^{2}Θdφ^{2} + dΘ^{2}) − \frac{dr^{2}}{1 − \frac{r_{g}}{r}}  (2)

где

r_{g} = \frac{2km}{c^{2}}

если dr = dΘ = dφ = 0 то

ds^{2} = (1 − \frac{r_{g}}{r})c^{2}dt^{2}  (3)

раскроем скобки и подставим значение для r_{g}

ds^{2} = c^{2}dt^{2} − \frac{2km}{rc^{2}}c^{2}dt^{2}  (4)

или

ds^{2} = (cdt)^{2} − (\sqrt{\frac{2km}{r}}dt)^{2}  (5)

Вспоминая определение интервала, видим, что ds является суммой двух ортогональных величин, первая из которых интервал времени, а вторая - смещение пространства за тот же интервал времени, определяемое второй космической скоростью (??). Первое слагаемое в формуле (??) показывает, что темп времени в падающей и галилеевой системах совпадают между собой. В то же время точки в шварцшильдовской системе имеют скорость относительно падающей системы, и испытывают банальное замедление времени по формуле преобразования Лоренца [4-(3.1)].

dt‘ = dt\sqrt{1 − \frac{V^{2}}{c^{2}}}

Поэтому замедление времени в области с гравитацией находит более простое объяснение в подвижной метрике по сравнению с традиционно вводимым "гравитационным замедлением времени".

Если принять dt = dΘ = dφ = 0 то это будет вычислением соотношения расстояний в шварцшильдовской системе и падающей. Тогда

ds^{2} = \frac{dr^{2}}{1 − \frac{r_{g}}{r}}  (6)

подставив выражение для r_{g} получим

ds^{2} = \frac{dr^{2}}{1 − \frac{2km}{c^{2}r}}  (7)

или

ds = \frac{dr}{\sqrt{1 − \frac{V^{2}}{c^{2}}}}  (8)

где V равна второй космической скорости (??). Вновь действует формула преобразований Лоренца [4-(4.5)].

Найденная связь решения Шварцшильда с преобразованиями Лоренца через значение второй космической скорости делают излишними понятия "гравитационного замедления времени" и "гравитационного сокращения", как, впрочем, и для "гравитационного сдвига частоты". Для понимания и вычисления указанных эффектов достаточно концепции динамичной метрики и формул преобразований Лоренца, хорошо известных из СТО.

И ещё одна, - четвёртая - система координат, представляющая наибольший интерес в прикладных задачах. Это задача движения по инерции в области с гравитацией, например, движение планет вокруг Солнца, движение естественного и искусственных спутников в сфере действия тяготения Земли, или просто траектория брошенного камня с её поверхности. Главное - отсутствие влияния любых сил на тела.

Традиционный путь решения подобной задачи движения не удовлетворяет этому требованию: изменения в движении рассматриваемого тела объясняются с привлечением виртуального "гравитационного поля". Концепция "динамичной метрики" позволяет действительно осуществить геометризацию тяготения: расчёт траектории осуществляется без привлечения понятий "поле" и "потенциал", равно как и без понятия "сила притяжения", а именно:

Траектория этого движения, относительно галилеевой системы, складывается из двух величин: собственного движения тела в падающей системе и смещения падающей системы в рассматриваемой точке относительно галилеевой.

Скорость тела относительно падающей системы определить достаточно просто: по известному местоположению тела - (точка 0 на рис.1) определяется по формуле (??) смещение 0А падающей системы - оно имеет направление к центру гравитации. Измеряется направление и скорость тела 0С относительно шварцшильдовской системы (то есть относительно поверхности Земли, например) или, что то же самое, относительно галилеевой системы. По формуле (??) определяем смещение CA‘ падающей системы в точке C. Так как движение тела складывается из передвижения тела в подвижной системе и смещения самой подвижной системы 0C=0B+CA‘ то 0B=0C-CA‘ . Из полученных значений определяется направление и скорость 0В тела относительно падающей системы. Обращаю внимание: векторы 0A и CA‘ пересекаются в центре гравитации.

[figure: 0; A; B; C; Рис 1; A‘]

Дальнейшая траектория тела определяется следующим образом: От точки 0 рис 2. тело переместится за единицу времени в соответствии со своей скоростью в падающей системе в точку B. За это время все точки в падающей системе сместятся к центру тяготения в соответствии с формулой (??), при этом точка B сместится в точку C, а точка 0 сместится в точку A. Ещё раз напомню, что 0A и BC пересекаются в центре тяготения.

[figure: 0; A; B; C; Рис 2]

Поскольку смещения подвижной системы 0A и BC имеют разную величину и направление, то скорость тела AC относительно подвижной системы также изменится по величине и направлению. Видимым перемещением тела в шварцшильдовской (и галилеевой) системе будет 0C.

В соответствии с вышеизложенным алгоритмом определения траектории тела в области тяготения Панфёровым Е.Е. sad@pisem.net была разработана компьютерная программа ftp://rabbit.spider.ru/pub/articlel/ekg2.pas нахождения траектории луча света, проходящего по касательной к Солнцу. Рассчитанное программой отклонение составило 1,75“.

Концепция динамичной метрики показывает, что ускоренное движение пространства является формой существования гравитации.

Приведённая классификация систем отсчёта в области с гравитацией, основанная на концепции динамичной метрики, даёт основу для восприятия гравитации в целом и вносит ясность и физическое содержание в понятие "искривление геометрии".

.

Список литературы

.

1. Шмутцер Э. Теория относительности.( М.: Мир, 1981г.)

2. Ю.С.Владимиров, Н.В.Мицкевич, Я.Хорски Пространство, время, гравитация. ( М., Наука, 1984г ).

3. А.Эйнштейн Собрание научных трудов Т. 2 (1921-1955) (М., Наука, 1984г.)

4. Ландау Л.Д. Лившиц Е.М. Теоретическая физика Т II Теория поля. (М.: Наука. 1988г.)